一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

　　1.若直线l与直线y=1、x=7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为(　　)

　　A.13　　　　 B.-13　　　　C.-32　　　　 D.23

　　解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a+72，1+b2，则

　　a+72=1，1+b2=-1，解得a=-5，b=-3，即可得P(-5,1)，Q(7，-3)，故直线l的斜

　　率为kPQ=1+3-5-7=-13.

　　答案：B

　　2.若直线x+(a-2)y-a=0与直线ax+y-1=0互相垂直，则a的值为(　　)

　　A.2 B.1或2

　　C.1 D.0或1

　　解析：依题意，得(-a)×-1a-2=-1，解得a=1.

　　答案：C

　　3.已知圆(x-1)2+(y-33)2=r2(r>0)的一条切线y=kx+3与直线x=5的夹角为π6，则半径r的值为(　　)

　　A.32 B.332

　　C.32或332 D.32或3

　　解析：∵直线y=kx+3与x=5的夹角为π6，∴k=±3.由直线和圆相切的条件得r=32或332.

　　答案：C

　　4.顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y=x+1截得的弦长是10，则抛物线的方程是(　　)

　　A.y2=-x，或y2=5x B.y2=-x

　　C.y2=x，或y2=-5x D.y2=5x

　　解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2=mx(m≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m=-1，或m=5，从而选项A正确.

　　答案：A

　　5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为(　　)

　　A.106 B.206

　　C.306 D.406

　　解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252-12=46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10=206，故应选B.

　　答案：B

　　6.若双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是(　　)

　　A.3 B.5

　　C.3 D.5

　　解析：焦点到准线的距离为c-a2c=b2c，焦点到渐近线的距离为bca2+b2=b，bc=23，e=3.

　　答案：C

　　7.若圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为(　　)

　　A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2

　　C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

　　解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为 ，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

　　答案：C

　　8.已知抛物线y2=2px(p>0)，过点E(m, 0)(m≠0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若PM→=λME→，PN→=μNE→，则λ+μ =(　　)

　　A.1 B.-12

　　C.-1 D.-2

　　解析：设过点E的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=2p+2mk2k2，x1x2=m2.

　　由PM→=λME→，PN→=μNE→，可得

　　x1=λ(m-x1)，x2=μ(m-x2)，则λ+μ=x1m-x1+x2m-x2=x1(m-x2)+x2(m-x1)(m-x1)(m-x2)=m(x1+x2)-2x1x2m2+x1x2-m(x1+x2)=m(x1+x2)-2m22m2-m(x1+x2)=-1.

　　答案：C

　　9.直线MN与双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右支分别交于M、N点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|=2|FN|，又NP→=λPM→(λ∈R)，则实数λ的值为(　　)

　　A.12 B.1

　　C.2 D.13

　　解析：如图所示，分别过点M、N作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.

　　由双曲线的第二定义，可得 = =e，

　　则 = =2.

　　∵△MPB∽△NPA，∴ = = ，即 = .

　　答案：A

　　10.在平面直角坐标系内，点P到点A(1,0)，B(a,4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a=(　 　)

　　A.1 B.2

　　C.2或-2 D.1或-1

　　解析：依题意得，一方面，点P应位于以点A(1,0 )为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上;另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y-2=-a-14x-a+12上.

　　由于要使这样的点P是唯一的，

　　因此要求方程组y2=4x，y-2=-a-14x-a+12有唯一的实数解.

　　结合选项进行检验即可.当a=1时，抛物线y2=4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意;当a=-1时，线段AB的中垂线方程是y=12x+2，易知方程组y2=4x，y=12x+2有唯一实数解.

　　综上所述，a=1，或a=-1.

　　答案：D

　　11.已知椭圆C：x24+y2=1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2=|PF1|?|PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“★点”.下列结论正确的是(　　)

　　A.椭圆C上的所有点都是“★点”

　　B.椭圆C上仅有有限个点是“★点”

　　C.椭圆C上的所有点都不是“★点”

　　D.椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”

　　解析：设椭圆C：x24+y2=1上点P的坐标为(2cosα，sinα)，由|PO|2=|PF1|?|PF2|，可得4cos2α+sin2α=(2cosα+3)2+sin2α?(2cosα-3)2+sin2α，整理可得cos2α=12，即可得cosα=±22，sinα=±22，由此可得点P的坐标为±2，±22，即椭圆C上有4个点是“★点”.

　　答案：B

　　12.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|?|OR|的大小关系为(　　)

　　A.|OP|2<|OQ|?|OR| B.|OP|2>|OQ|?|OR|

　　C.|OP|2=|OQ|?|OR| D.不确定

　　解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是y=±bax，直线AQ的方程是y=ba(x-a)，直线AR的方程是y=-ba(x-a)，直线OP的 方程是y=y0x0x，可得Qabx0bx0-ay0，aby0bx0-ay0，Rabx0bx0+ay0，aby0bx0+ay0.

　　又x02a2-y02b2=1，可得|OP|2=|OQ|?|OR|.

　　答案：C

　　第Ⅱ卷　(非选择　共90分)

　　二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

　　13.若两直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0互相垂直，则其交点的坐标为__________.

　　解析：由已知两直线互相垂直可得a=-2，

　　则由2x+y+2=0，-x+2y-1=0得两直线的交点坐标为(-1,0).

　　答案：(-1,0)

　　14.如果点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x-4)2+(y-1)2=1上，那么|MA|+|MF|的最小值为__________.

　　解析：如图所示，过点M作MB⊥l于点B.由抛物线定义，可得|MF|=|MB|，则|MA|+|MF|=|MA|+|MB|≥|CB|-1=4+1-1=4.

　　答案：4

　　15.若过原点O且方向向量为(m,1)的直线l与圆C：(x-1)2+y2=4相交于P、Q两点，则OP→?OQ→=__________.

　　解析：可由条件设出直线方程，联立方程运用韦达定理可求解，其中OP→?OQ→=x1x 2+y1y2是引发思路的关键.

　　答案：-3

　　16.如果F1为椭圆C：x22+y2=1的左焦点，直线l：y=x-1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|+|F1B|的值为__________.

　　解析：将l：y=x-1代入椭圆C：x22+y2=1，可得x2+2(x-1)2-2=0，即3x2-4x=0，解之得x=0，或x =43.

　　可得A(0，-1)，B43，13.又F1(-1,0)，则|F1A|+|F1B|=(-1)2+12+43+12+132=823.

　　答案：823

　　三、解答题：本大题共6小题，共70分.

　　17.(10分)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4.

　　(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标;

　　(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM?kPN=-14时，求椭圆的方程.

　　解析：(1)由b=21+1，得b=2，

　　又 2a=4，a=2，a2=4，b2=2，c2=a2-b2=2，

　　故两个焦点坐标为(2，0)，(-2，0).

　　(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，

　　不妨设M(x0，y0)，N(-x0，-y0)，P(x，y).

　　点M、N、P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，

　　即有x02a2+y02b2=1，x2a2+y2b2=1，

　　两式相减，得y2-y02x2-x02=-b2a2.

　　由题意它们的斜率存在，则kPM=y-y0x-x0，kPN=y+y0x+x0，

　　kPM?kPN=y-y0x-x0?y+y0x+x0=y2-y02x2-x02=-b2a2，

　　则-b2a2=-14.

　　由a=2，得b=1.

　　故所求椭圆的方程为x24+y2=1.

　　18.(12分)已知两点M(-1,0)，N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|?|NP→|=MN→?MP→.

　　(1)求动点P的轨迹方程;

　　(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2+(y-2)2=4的位置关系.

　　解析：(1)设P(x，y)，则MN→=(2,0)，NP→=(x-1，y)，

　　MP→=(x+1，y).

　　由|MN→|?|NP→|=MN→?MP→，

　　得2(x-1)2+y2=2(x+1)，

　　化简，得y2=4x.

　　故动点P的轨迹方程为y2=4x.

　　(2)由点A(t,4)在轨迹y2=4x上，

　　则42=4t，解得t=4，即A(4,4).

　　当m=4时，直线AK的方程为x=4，

　　此时直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离.

　　当m≠4时，直线AK的方程为y=44-m(x-m)，

　　即4x+m(m-4)y-4m=0，

　　圆x2+(y-2)2=4的圆心(0,2)到直线AK的距离d=|2m+8|16+(m-4)2，

　　令d=|2m+8|16+(m-4)2<2，解得m<1;

　　令d=|2m+8|16+(m-4)2=2，解得m=1;

　　令d=|2m+8|16+(m-4)2>2，解得m>1.

　　综上所述，当m<1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相交;

　　当m=1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相切 ;

　　当m>1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离.

　　19.(12分)如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x2=43y的焦点为椭圆C的上顶点.

　　(1)求椭圆C的方程;

　　(2)若直线L交y轴于点M，且MA→=λ1AF→，MB→=λ2BF→，当m变化时，求λ1+λ2的值.

　　解析：(1)易知b=3，得b2=3.

　　又∵F(1,0)，

　　∴c=1，a2=b2+c2=4，

　　∴椭 圆C的方程为x24+y23=1.

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=my+1，3x2+4y2-12=0，

　　得(3m2+4)y2+6my-9= 0，Δ=144(m2+1)>0，

　　于是1y1+1y2=2m3.(*)

　　∵L与y轴交于点M0，-1m，又由MA→=λ1AF→，

　　∴x1，y1+1m=λ1(1-x1，-y1)，

　　∴λ1=1-1my1.同理λ2=-1-1my2.

　　从而λ1+λ2=-2-1m1y1+1y2=-2-23=-83.

　　即λ1+λ2=-83.

　　20.(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，-1)，B(0,1)，且GM→=λAB→(λ∈R).

　　(1)求点C的轨迹方程;

　　(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP→|=|AQ→ |，试求k的取值范围.

　　解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.

　　∵GM→=λAB→，(λ∈R)，∴GM∥AB.

　　∵点M是三角形的外心，∴M点在x轴上，即Mx3，0.

　　又∵|MA→|=|MC→|，

　　∴ x32+(0+1)2= x3-x2+y2，

　　整理，得x23+y2=1，(x≠0)，即为曲线C的方程.

　　(2)①当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|AP→|=|AQ→|.

　　②当k≠0时，可设l的方程为y=kx+m，

　　联立方程组y=kx+m，x23+y2=1，消去y，

　　整理，得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.(*)

　　∵直线l和椭圆C交于不同两点，

　　∴Δ=(6km)2-4(1+3k2)×(m2-1)>0，

　　即1+3k2-m2>0.(**)

　　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，

　　于是有x1+x2=-6km1+3k2.

　　则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是

　　x0=x1+x22=-3km1+3k2，y0=kx0+m=m1+3k2，

　　即N-3km1+3k2，m1+3k2，

　　又∵|AP→|=|AQ→|，∴AN→⊥PQ→，

　　∴k?kAN=k?m1+3k2+1-3km1+3k2=-1，∴m=1+3k22.

　　将m=1+3k22代入(**)式，得1+3k2-1+3k222>0(k≠0)，

　　即k2<1，得k∈(-1,0)∪(0,1).

　　综合①②得，k的取值范围是(-1,1).

　　21.(12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，它的一条准线方程为x=2.

　　(1)求椭圆C的方程;

　　(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB的距离为63，求∠AOB的大小.

　　解析：(1)由题意，知ca=22，a2c=2，

　　得a=2，c=1，故a2=2，b2=1，

　　故椭圆方程为x22+y2=1.

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　设直线AB的方程为x=±63，或y=kx+b.

　　当直线AB的方程为x=63时，由x=63，x22+y2=1，

　　可求A63，63，B63，-63.

　　从而OA→?OB→=0，可得∠AOB=π2.

　　同理可知当直线AB的方程为x= -63时，和椭圆交得两点A、B.

　　可得∠AOB=π2.

　　当直线AB的方程为y=kx+b.

　　由原点到直线的距离为63，得b1+k2=63.

　　即1+k2=32b2.

　　又由y=kx+b，x22+y2=1，消去y，得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0.

　　得x1+x2=-4kb1+2k2，x1x2=2b2-21+2k2，

　　从而y1y2=(kx1+b)(kx2+b)

　　=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=b2-2k21+2k2.

　　OA→?OB→=x1x2+y1y2=2b2-21+2k2+b2-2k21+2k2

　　=3b2-2(1+k2)1+2k2，

　　将1+k2=32b2代入上式，得OA→?OB→=0，

　　∠AOB=90°.

　　22.(12分)已知动点P与双曲线x2-y23=1的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1→|?|PF2→|的最大值为9.[来xkb1.com

　　(1)求动点P的轨迹E的方程;

　　(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，-2)满足AM→=λMB→，求实数λ的取值范围.

　　解析：(1)双曲线x2-y23=1的两焦点F1(-2,0)、F2(2,0).

　　设已知定值为2a，则|PF1→|+|PF2→|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(-2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆.

　　设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).

　　∵|PF1→|?|PF2→|≤|PF1→|+|PF2→|22=a2，

　　当且仅当|PF1→|=|PF2→|时等号成立，

　　∴a2=9，b2=a2-c2=5，

　　∴动点P的轨迹E的方程是x29+y25=1.

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM→=λMB→， 得

　　-x1=λx2，-2-y1=λ(y2+2)，

　　且M、A、B三点共线，设直线为l，

　　①当直线l的斜率存在时，设 l：y=kx-2，

　　由y=kx-2，x29+y25=1，得(5+9k2)x2-36kx-9=0，

　　Δ=(-36k)2-4(5+9k2)(-9)>0恒成立.

　　由韦达定理，得x1+x2=36k5+9k2，x1x2=-95+9k2.

　　将x1=-λx2代入，消去x2得(1-λ)2λ=144k25+9k2.

　　当k=0时，得λ=1;

　　当k≠0时，(1-λ)2λ=1445k2+9，由k2>0，得

　　0<(1-λ)2λ<16，得9-45<λ<9+45，且λ≠1.

　　②当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴端点，此时λ=-2-y12+y2=9±45.

　　综上所述，λ的取值范围是[9-45，9+45].一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

　　1.若直线l与直线y=1、x=7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为(　　)

　　A.13　　　　 B.-13　　　　C.-32　　　　 D.23

　　解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a+72，1+b2，则

　　a+72=1，1+b2=-1，解得a=-5，b=-3，即可得P(-5,1)，Q(7，-3)，故直线l的斜

　　率为kPQ=1+3-5-7=-13.

　　答案：B

　　2.若直线x+(a-2)y-a=0与直线ax+y-1=0互相垂直，则a的值为(　　)

　　A.2 B.1或2

　　C.1 D.0或1

　　解析：依题意，得(-a)×-1a-2=-1，解得a=1.

　　答案：C

　　3.已知圆(x-1)2+(y-33)2=r2(r>0)的一条切线y=kx+3与直线x=5的夹角为π6，则半径r的值为(　　)

　　A.32 B.332

　　C.32或332 D.32或3

　　解析：∵直线y=kx+3与x=5的夹角为π6，∴k=±3.由直线和圆相切的条件得r=32或332.

　　答案：C

　　4.顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y=x+1截得的弦长是10，则抛物线的方程是(　　)

　　A.y2=-x，或y2=5x B.y2=-x

　　C.y2=x，或y2=-5x D.y2=5x

　　解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2=mx(m≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m=-1，或m=5，从而选项A正确.

　　答案：A

　　5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为(　　)

　　A.106 B.206

　　C.306 D.406

　　解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252-12=46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10=206，故应选B.

　　答案：B

　　6.若双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是(　　)

　　A.3 B.5

　　C.3 D.5

　　解析：焦点到准线的距离为c-a2c=b2c，焦点到渐近线的距离为bca2+b2=b，bc=23，e=3.

　　答案：C

　　7.若圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为(　　)

　　A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=2

　　C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

　　解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为 ，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

　　答案：C

　　8.已知抛物线y2=2px(p>0)，过点E(m, 0)(m≠0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若PM→=λME→，PN→=μNE→，则λ+μ =(　　)

　　A.1 B.-12

　　C.-1 D.-2

　　解析：设过点E的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=2p+2mk2k2，x1x2=m2.

　　由PM→=λME→，PN→=μNE→，可得

　　x1=λ(m-x1)，x2=μ(m-x2)，则λ+μ=x1m-x1+x2m-x2=x1(m-x2)+x2(m-x1)(m-x1)(m-x2)=m(x1+x2)-2x1x2m2+x1x2-m(x1+x2)=m(x1+x2)-2m22m2-m(x1+x2)=-1.

　　答案：C

　　9.直线MN与双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右支分别交于M、N点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|=2|FN|，又NP→=λPM→(λ∈R)，则实数λ的值为(　　)

　　A.12 B.1

　　C.2 D.13

　　解析：如图所示，分别过点M、N作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.

　　由双曲线的第二定义，可得 = =e，

　　则 = =2.

　　∵△MPB∽△NPA，∴ = = ，即 = .

　　答案：A

　　10.在平面直角坐标系内，点P到点A(1,0)，B(a,4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a=(　 　)

　　A.1 B.2

　　C.2或-2 D.1或-1

　　解析：依题意得，一方面，点P应位于以点A(1,0 )为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上;另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y-2=-a-14x-a+12上.

　　由于要使这样的点P是唯一的，

　　因此要求方程组y2=4x，y-2=-a-14x-a+12有唯一的实数解.

　　结合选项进行检验即可.当a=1时，抛物线y2=4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意;当a=-1时，线段AB的中垂线方程是y=12x+2，易知方程组y2=4x，y=12x+2有唯一实数解.

　　综上所述，a=1，或a=-1.

　　答案：D

　　11.已知椭圆C：x24+y2=1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2=|PF1|?|PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“★点”.下列结论正确的是(　　)

　　A.椭圆C上的所有点都是“★点”

　　B.椭圆C上仅有有限个点是“★点”

　　C.椭圆C上的所有点都不是“★点”

　　D.椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”

　　解析：设椭圆C：x24+y2=1上点P的坐标为(2cosα，sinα)，由|PO|2=|PF1|?|PF2|，可得4cos2α+sin2α=(2cosα+3)2+sin2α?(2cosα-3)2+sin2α，整理可得cos2α=12，即可得cosα=±22，sinα=±22，由此可得点P的坐标为±2，±22，即椭圆C上有4个点是“★点”.

　　答案：B

　　12.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|?|OR|的大小关系为(　　)

　　A.|OP|2<|OQ|?|OR| B.|OP|2>|OQ|?|OR|

　　C.|OP|2=|OQ|?|OR| D.不确定

　　解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是y=±bax，直线AQ的方程是y=ba(x-a)，直线AR的方程是y=-ba(x-a)，直线OP的 方程是y=y0x0x，可得Qabx0bx0-ay0，aby0bx0-ay0，Rabx0bx0+ay0，aby0bx0+ay0.

　　又x02a2-y02b2=1，可得|OP|2=|OQ|?|OR|.

　　答案：C

　　第Ⅱ卷　(非选择　共90分)

　　二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

　　13.若两直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0互相垂直，则其交点的坐标为__________.

　　解析：由已知两直线互相垂直可得a=-2，

　　则由2x+y+2=0，-x+2y-1=0得两直线的交点坐标为(-1,0).

　　答案：(-1,0)

　　14.如果点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x-4)2+(y-1)2=1上，那么|MA|+|MF|的最小值为__________.

　　解析：如图所示，过点M作MB⊥l于点B.由抛物线定义，可得|MF|=|MB|，则|MA|+|MF|=|MA|+|MB|≥|CB|-1=4+1-1=4.

　　答案：4

　　15.若过原点O且方向向量为(m,1)的直线l与圆C：(x-1)2+y2=4相交于P、Q两点，则OP→?OQ→=__________.

　　解析：可由条件设出直线方程，联立方程运用韦达定理可求解，其中OP→?OQ→=x1x 2+y1y2是引发思路的关键.

　　答案：-3

　　16.如果F1为椭圆C：x22+y2=1的左焦点，直线l：y=x-1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|+|F1B|的值为__________.

　　解析：将l：y=x-1代入椭圆C：x22+y2=1，可得x2+2(x-1)2-2=0，即3x2-4x=0，解之得x=0，或x =43.

　　可得A(0，-1)，B43，13.又F1(-1,0)，则|F1A|+|F1B|=(-1)2+12+43+12+132=823.

　　答案：823

　　三、解答题：本大题共6小题，共70分.

　　17.(10分)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4.

　　(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标;

　　(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM?kPN=-14时，求椭圆的方程.

　　解析：(1)由b=21+1，得b=2，

　　又 2a=4，a=2，a2=4，b2=2，c2=a2-b2=2，

　　故两个焦点坐标为(2，0)，(-2，0).

　　(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，

　　不妨设M(x0，y0)，N(-x0，-y0)，P(x，y).

　　点M、N、P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，

　　即有x02a2+y02b2=1，x2a2+y2b2=1，

　　两式相减，得y2-y02x2-x02=-b2a2.

　　由题意它们的斜率存在，则kPM=y-y0x-x0，kPN=y+y0x+x0，

　　kPM?kPN=y-y0x-x0?y+y0x+x0=y2-y02x2-x02=-b2a2，

　　则-b2a2=-14.

　　由a=2，得b=1.

　　故所求椭圆的方程为x24+y2=1.

　　18.(12分)已知两点M(-1,0)，N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|?|NP→|=MN→?MP→.

　　(1)求动点P的轨迹方程;

　　(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2+(y-2)2=4的位置关系.

　　解析：(1)设P(x，y)，则MN→=(2,0)，NP→=(x-1，y)，

　　MP→=(x+1，y).

　　由|MN→|?|NP→|=MN→?MP→，

　　得2(x-1)2+y2=2(x+1)，

　　化简，得y2=4x.

　　故动点P的轨迹方程为y2=4x.

　　(2)由点A(t,4)在轨迹y2=4x上，

　　则42=4t，解得t=4，即A(4,4).

　　当m=4时，直线AK的方程为x=4，

　　此时直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离.

　　当m≠4时，直线AK的方程为y=44-m(x-m)，

　　即4x+m(m-4)y-4m=0，

　　圆x2+(y-2)2=4的圆心(0,2)到直线AK的距离d=|2m+8|16+(m-4)2，

　　令d=|2m+8|16+(m-4)2<2，解得m<1;

　　令d=|2m+8|16+(m-4)2=2，解得m=1;

　　令d=|2m+8|16+(m-4)2>2，解得m>1.

　　综上所述，当m<1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相交;

　　当m=1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相切 ;

　　当m>1时，直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离.

　　19.(12分)如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x2=43y的焦点为椭圆C的上顶点.

　　(1)求椭圆C的方程;

　　(2)若直线L交y轴于点M，且MA→=λ1AF→，MB→=λ2BF→，当m变化时，求λ1+λ2的值.

　　解析：(1)易知b=3，得b2=3.

　　又∵F(1,0)，

　　∴c=1，a2=b2+c2=4，

　　∴椭 圆C的方程为x24+y23=1.

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=my+1，3x2+4y2-12=0，

　　得(3m2+4)y2+6my-9= 0，Δ=144(m2+1)>0，

　　于是1y1+1y2=2m3.(*)

　　∵L与y轴交于点M0，-1m，又由MA→=λ1AF→，

　　∴x1，y1+1m=λ1(1-x1，-y1)，

　　∴λ1=1-1my1.同理λ2=-1-1my2.

　　从而λ1+λ2=-2-1m1y1+1y2=-2-23=-83.

　　即λ1+λ2=-83.

　　20.(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，-1)，B(0,1)，且GM→=λAB→(λ∈R).

　　(1)求点C的轨迹方程;

　　(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP→|=|AQ→ |，试求k的取值范围.

　　解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.

　　∵GM→=λAB→，(λ∈R)，∴GM∥AB.

　　∵点M是三角形的外心，∴M点在x轴上，即Mx3，0.

　　又∵|MA→|=|MC→|，

　　∴ x32+(0+1)2= x3-x2+y2，

　　整理，得x23+y2=1，(x≠0)，即为曲线C的方程.

　　(2)①当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|AP→|=|AQ→|.

　　②当k≠0时，可设l的方程为y=kx+m，

　　联立方程组y=kx+m，x23+y2=1，消去y，

　　整理，得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.(*)

　　∵直线l和椭圆C交于不同两点，

　　∴Δ=(6km)2-4(1+3k2)×(m2-1)>0，

　　即1+3k2-m2>0.(**)

　　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，

　　于是有x1+x2=-6km1+3k2.

　　则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是

　　x0=x1+x22=-3km1+3k2，y0=kx0+m=m1+3k2，

　　即N-3km1+3k2，m1+3k2，

　　又∵|AP→|=|AQ→|，∴AN→⊥PQ→，

　　∴k?kAN=k?m1+3k2+1-3km1+3k2=-1，∴m=1+3k22.

　　将m=1+3k22代入(**)式，得1+3k2-1+3k222>0(k≠0)，

　　即k2<1，得k∈(-1,0)∪(0,1).

　　综合①②得，k的取值范围是(-1,1).

　　21.(12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，它的一条准线方程为x=2.

　　(1)求椭圆C的方程;

　　(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB的距离为63，求∠AOB的大小.

　　解析：(1)由题意，知ca=22，a2c=2，

　　得a=2，c=1，故a2=2，b2=1，

　　故椭圆方程为x22+y2=1.

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　设直线AB的方程为x=±63，或y=kx+b.

　　当直线AB的方程为x=63时，由x=63，x22+y2=1，

　　可求A63，63，B63，-63.

　　从而OA→?OB→=0，可得∠AOB=π2.

　　同理可知当直线AB的方程为x= -63时，和椭圆交得两点A、B.

　　可得∠AOB=π2.

　　当直线AB的方程为y=kx+b.

　　由原点到直线的距离为63，得b1+k2=63.

　　即1+k2=32b2.

　　又由y=kx+b，x22+y2=1，消去y，得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0.

　　得x1+x2=-4kb1+2k2，x1x2=2b2-21+2k2，

　　从而y1y2=(kx1+b)(kx2+b)

　　=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=b2-2k21+2k2.

　　OA→?OB→=x1x2+y1y2=2b2-21+2k2+b2-2k21+2k2

　　=3b2-2(1+k2)1+2k2，

　　将1+k2=32b2代入上式，得OA→?OB→=0，

　　∠AOB=90°.

　　22.(12分)已知动点P与双曲线x2-y23=1的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1→|?|PF2→|的最大值为9.[来xkb1.com

　　(1)求动点P的轨迹E的方程;

　　(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，-2)满足AM→=λMB→，求实数λ的取值范围.

　　解析：(1)双曲线x2-y23=1的两焦点F1(-2,0)、F2(2,0).

　　设已知定值为2a，则|PF1→|+|PF2→|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(-2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆.

　　设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).

　　∵|PF1→|?|PF2→|≤|PF1→|+|PF2→|22=a2，

　　当且仅当|PF1→|=|PF2→|时等号成立，

　　∴a2=9，b2=a2-c2=5，

　　∴动点P的轨迹E的方程是x29+y25=1.

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM→=λMB→， 得

　　-x1=λx2，-2-y1=λ(y2+2)，

　　且M、A、B三点共线，设直线为l，

　　①当直线l的斜率存在时，设 l：y=kx-2，

　　由y=kx-2，x29+y25=1，得(5+9k2)x2-36kx-9=0，

　　Δ=(-36k)2-4(5+9k2)(-9)>0恒成立.

　　由韦达定理，得x1+x2=36k5+9k2，x1x2=-95+9k2.

　　将x1=-λx2代入，消去x2得(1-λ)2λ=144k25+9k2.

　　当k=0时，得λ=1;

　　当k≠0时，(1-λ)2λ=1445k2+9，由k2>0，得

　　0<(1-λ)2λ<16，得9-45<λ<9+45，且λ≠1.

　　②当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴端点，此时λ=-2-y12+y2=9±45.

　　综上所述，λ的取值范围是[9-45，9+45].