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高考数学知识点不等式专项练习题-双师东方

2018-12-17 11:15

来源:新东方

作者:新东方

  一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的)

  1.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是(  )

  A.若a>b,则ac2>bc2 B.若ac>bc,则a>b

  C.若a3>b3且ab<0,则1a>1b D.若a2>b2且ab>0,则1a<1b

  解析 C 当c=0时,可知选项A不正确;当c<0时,可知B不正确;由a3>b3且ab<0知a>0且b<0,所以1a>1b成立;当a<0且b<0时,可知D不正确.

  2.若集合A={x||x-2|≤3,x∈R},B={y|y=1-x2,x∈R},则A∩B=(  )

  A.[0,1] B.[0,+∞)

  C.[-1,1] D.?

  解析 C 由|x-2|≤3,得-1≤x≤5,即A={x|-1≤x≤5};B={y|y≤1}.故A∩B=[-1,1].

  3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为(  )

  A.1 B.1+2

  C.1+2+22 D.1+2+22+23

  解析 D 当n=1时,左边=1+2+22+23.

  4.已知x,y,z∈R+,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是(  )

  A.1 B.2

  C.3 D.4

  解析 B ∵(x+y)(y+z)=xy+y2+xz+yz=y(x+y+z)+xz=y×1xyz+xz=1xz+xz≥21xz?xz=2,当且仅当xz=1,y(x+y+z)=1时,取“=”,

  ∴(x+y)(y+z)min=2.

  5.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(  )

  A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a4+b42≤0

  C.?a+b?22-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0

  解析 D 因为a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0,故选D.

  6.对于平面α和共面的直线m、n,下列命题为真命题的是(  )

  A.若m⊥α,m⊥n,则n∥α B.若m∥α,n∥α,则m∥n

  C.若m?α,n∥α,则m∥n D.若m、n与α所成的角相等,则m∥n

  解析 C 对于平面α和共面的直线m,n,真命题是“若m?α,n∥α,则m∥n”.

  7.若不等式2x2+2kx+k4x2+6x+3<1对于一切实数都成立,则k的取值范围是(  )

  A. (-∞,+∞) B. (1,3)

  C. (-∞,3) D. (-∞,1)∪(3,+∞)

  解析 B ∵4x2+6x+3=4x2+32x+3=4x+342+34≥34,

  ∴不等式等价于2x2+2kx+k<4x2+6x+3,

  即2x2+(6-2k)x+3-k>0对任意的x 恒成立,

  ∴Δ=(6-2k)2-8(3-k)<0,∴1

  8.设函数f(x)=x2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是(  )

  A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0

  C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0

  解析 C ∵f(x)的对称轴为x=-12,f(0)=a>0,

  ∴由f(m)<0,得-10,∴f(m+1)>f(0)>0.

  9.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是(  )

  A.2 B.22

  C.4 D.5

  解析 C ∵a>0,b>0, ∴1a+1b+2ab≥21ab+2ab≥4,

  当且仅当a=b=1时取等号,∴1a+1b+2abmin=4.

  10.使不等式log2x(5x-1)>0成立的一个必要不充分条件是(  )

  A.x>12 B.1512

  C.1512

  解析 D log2x(5x-1)>0?

  5x-1>0,2x>1,5x-1>1或5x-1>0,0<2x<1,5x-1<1?x>15,x>12,x>25或x>15,0

  ∴x>12或1512或1512 或0

  11.假设f(x)=x2-4x+3,若实数x、y满足条件f(y)≤f(x)≤0,则点(x,y)所构成的区域的面积等于(  )

  A. 1 B. 2

  C. 3 D. 4

  解析 B 由f(y)≤f(x)≤0可得f?y?≤f?x?,f?x?≤0,即1≤x≤3,?x-y??x+y-4?≥0,

  画出其表示的平面区域如图所示,可得面积S=2×12×2×1=2,故选B.

  12.设x,y 满足约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为(  )

  A.256 B.83

  C.113 D.4

  解析 A 作出可行域(四边形OBAC围成的区域,包括边界)如图,作出直线l:ax +by=0,当直线l经过点A时,z=ax+by取得最大值.

  解x-y+2=0,3x-y-6=0,得点A(4,6),∴4a+6b=12,即a3+b2=1,

  ∴2a+3b=2a+3ba3+b2=23+32+ab+ba≥23+32+2=256,当且仅当a =b时取等号.

  二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)

  13.已知等差数列{an}中,有a11+a12+…+a2010=a1+a2+…+a3030,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论:___ _____.

  解析 由等比数列的性质可知,b1b30=b2b29=…=b11b20,∴10b11b12…b20=30b1b2…b30 .

  【答案】 10b11b12…b20=30b1b2…b30

  14.已知实数x,y满足约束条件x-y+4≥0,x+y≥0,x≤3,则z=4x2-y的最小值为________.

  解析 作出不等式组所表示的可行域(图略),z=4x2-y=22x?2y=22x+y,令ω=2x+y,可求得ω=2x+y的最小值是-2,所以z=4x2-y的最小值为2-2=14.

  【答案】 14

  15.某公司租地建仓库,每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,这项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那 么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________ km处.

  解析 设仓库建在离车站d km处,

  由已知y1=2=k110,得k1=20,∴y1=20d. 由y2=8=10k2,得k2=45,∴y2=45d.

  ∴y1+y2=20d+4d5≥220d?4d5=8,当且仅当20d=4d5,即d=5时,费用之和最小.

  【答案】 5

  16.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足________.

  解析 由余弦定理cos A=b2+c2-a22bc<0,所以b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.

  【答案】 a2>b2+c2

  三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

  17.(10分)已知表中的对数值有且只有两个是错误的.

  x 1.5 3 5 6

  lg x 3a-b+c 2a-b a+c 1+a-b-c

  x 7 8 9 14 27

  lg x 2(a+c) 3(1-a-c) 2(2a-b) 1-a+2b 3(2a-b)

  (1)假设上表中lg 3=2a-b与lg 5=a+c都是正确的,试判断lg 6=1+a-b-c是否正确?给出判断过程;

  (2)试将两个错误的对象值均指出来并加以改正(不要求证明).

  解析 (1)由lg 5=a+c得lg 2=1-a-c,

  ∴lg 6=lg 2+lg 3=1-a-c+2a-b=1+a-b-c,

  满足表中数值,即lg 6在假设下是正确的.

  (2)lg 1.5与lg 7是错误的,

  正确值应为lg 1.5=lg32=lg 3-lg 2=2a-b-1+a+c=3a-b+c-1.

  lg 7=lg 14-lg 2=1-a+2b-1+a+c=2b+c.

  18.(12分)已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.

  (1)解关于a的不等式f(1)>0;

  (2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a、b的值.

  解析 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,

  ∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0

  即a2-6a-3<0,解得3-23

  ∴不等式解集为{a|3-23

  (2)f(x)>b的解集为(-1,3),

  即方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,

  ∴2=a?6-a?3,-3=-6-b3, 解得a=3±3,b=-3.

  19.(12分)(2011?南京模拟)已知数列{an}满足a 1=0,a2=1,当n∈N*时,an+2=an+1+an.求证:数列{an}的第4m+1(m∈N*)项能被3整除.

  解析 (1)当m=1时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a 1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.

  即当m=1时,第4m+1项能被3整除.命题成立.

  (2)假设当m=k时,a4k+1能被3整除,则当m=k+1时,

  a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.

  显然,3a4k+2能被3整除,又由假设知a4k+1能被3整除,

  ∴3a4k+2+2a4k+1能被3整除.

  即当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.命题也成立.

  由(1)和(2)知,对于任意n∈N*,数列{an}中的第4m+1(m∈N*)项能被3整除.

  20.(12分)设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程 f(x)-x=0的两根x1和x2满足0

  (1)求实数a的取值范围;

  (2)试比较f(0)f(1)-f(0)与116的大小,并说明理由.

  解析 (1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,

  由题意可得Δ>0,0<1-a2<1,g?1?>0,g?0?>0?a<3-22或a>3+22,-10

  ?0

  故实数a的取值范围是(0,3-22).

  (2)f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2,

  令h(a)=2a2,∵当a>0时,h(a)单调递增,

  ∴当0

  即f(0)f(1)-f(0)<116.

  21.(12分)已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(an,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.

  (1)求数列{an}的通项公式;

  (2)若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2an,求证:bn?bn+2

  解析 (1)由已知得an+1=an+1,则an+1-an=1,又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.故an=1+(n-1)×1=n.

  (2)由(1)知,an=n,从而bn+1-bn=2n.

  当n≥2时,

  bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1

  =2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1.

  又b1=1也适合上式,所以bn=2n-1,

  bn?bn+2-b2n+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2

  =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2?2n+1+1 )

  =-2n<0.

  所以bn?bn+2

  22.(12分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?

  解析 设该儿童分别预定x,y个单位的午餐和晚餐,共需z元,则z=2.5x+4y.

  可行域为12x+8y≥64,6x+6y≥42,6x+10y≥54,x≥0,y≥0,即3x+2y≥16,x+y≥7,3x+5y≥27,x≥0,y≥0,

  作出可行域如图阴影部分所示,所以当x=4,y=3时,花费最少,zmin=22元.

  因此,分别预定4个单位午餐和3个单位晚餐,就满足要求了.

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