类比、归纳、猜想

　　数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法.

　　所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证.

　　运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

　　可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象.按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型.

　　(1)降维类比

　　将三维空间的对象降到二维(或一维)空间中的对象，此种类比方法即为降维类比.

　　【例1】如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC， A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点.

　　求证： + + 为定值.

　　分析 考虑平面上的类似命题：“过△ABC(底)边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证 + 为定值”.这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1.另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间围形，也可用两种方法　证明 其定值为1.

　　证明：如图，设平面OA1 VA∩BC=M，平面OB1 VB∩AC=N，平面OC1 VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1 ∽△ LCV.得

　　+ + = + + 。

　　在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：

　　+ + =1。

　　∴ + + =1。

　　【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集.证明S中没有一对点的距离大于 .

　　【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S‘是所作三个圆的交集”，通过探索S’的类似性质，以寻求本题的论证思路.如图，易知S‘包含于以正三角形重心为圆心，以 为半径的圆内.因此S’内任意两点的距离不大于 .以此方法即可获得解本题的思路.

　　证明：如图，正四面体 ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点，G为△BCD的中心，MN∩AG=O.显然O是正四面体ABCD的中心.易知OG= ·AG= ，并且可以推得以O为球心、OG为半径的球内任意两点间的距离不大于 ，其球O必包含S.现证明如下.

　　根据对称性，不妨考察空间区域四面体OMCG.设P为四面体OMCG内任一点，且P不在球O内，现证P亦不在S内.

　　若球O交OC于T点。△TON中，ON= ，OT= ，cos∠TON=cos(π-∠TOM)=- 。由余弦定理：

　　TN2=ON2+OT2+2ON·OT· = ，∴TN= 。

　　又在 Rt△AGD中，N是AD的中点，∴GN= 。由GN= NT= ， OG=OT， ON=ON，得 △GON≌△TON。∴∠TON=∠GON，且均为钝角.

　　于是显然在△GOC内，不属于球O的任何点P，均有∠PON>∠TON，即有PN>TN= ，P点在 N为球心，AD为直径的球外，P点不属于区域S.

　　由此可见，球O包含六个球的交集S，即S中不存在两点，使其距离大于 .

　　(2)结构类比

　　某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决.

　　【例3】任给7个实数xk(k=1，2，…，7).证明其中有两个数xi，xj，满足不等式0≤ ≤ ·

　　【分析】若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立.若7个实数互不相等，则难以下手.但仔细观察可发现： 与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题.作代换：xk=tgαk(k =l，2，…，7)，证明必存在αi，αj，满足不等式0≤tg(αi-αj)≤ ·

　　证明：令xk=tgαk(k =l，2，…，7)，αk∈(- ， )，则原命题转化为：证明存在两个实数αi，αj∈(- ， )，满足0≤tg(αi-αj)≤ ·

　　由抽屉原则知，αk中必有 4个在[0， )中或在(- ，0)中，不妨设有4个在[0， )中.注意到tg0=0，tg = ，而在[0， )内，tgx是增函数，故只需证明存在αi，αj，使0<αi-αj < 即可。为此将[0， )分成三个小区间：[0， ]、( ， ]、( ， )。又由抽屉原则知，4个αk中至少有2个比如αi，αj同属于某一区间，不妨设αi>αj，则0≤αi-αj ≤ ，故0≤tg(αi-αj)≤ ·这样，与相应的xi=tgαi、xj=tgαj，便有0≤ ≤ ·