2019高二数学备考:解析几何中求参数取值范围的方法三
2019-02-15 14:12
来源:新东方
作者:新东方
四、利用三角函数的有界性构造不等式
曲线的参数方程与三角函数有关,因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程,后利用三角函数的有界性构造不等式求解。
例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,
求实数a的取值范围.
分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.
解:设椭圆的参数方程为 (θ为参数)
代入x2=2y 得
4cos2θ= 2(a+sinθ)
∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178
又∵-1≤sinθ≤1,∴-1≤a≤178
例9 已知圆C:x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n),使得不等式m+n+c≥0恒成立,求实数c的取值范围
分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.
解:∵点P在圆上,∴m = cosβ,n = 1+sinβ(β为参数)
∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1
∴m+n最小值为1-2 ,
∴-(m+n)最大值为2 -1
又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立
∴c≥2 -1
五、利用离心率构造不等式
我们知道,椭圆离心率e∈(0,1),抛物线离心率e = 1,双曲线离心率e>1,因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.
例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F,右准线为L,直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心,求实数k的取值范围.
分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.< p>
解:依题意得F的坐标为(2,0),L:x = 32
设椭圆中心为(m,0),则 m-2 =c和 m-32 = a2c
两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2
∵0<1,∴0<1,解得m>2,
又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上,
∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,
∴- 3k >2,解得-32 <0< p>
上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法,希望通过以上的介绍,能让同学们了解这类问题的常用求法,并能认真体会、理解掌握,在以后的学习过程中能够灵活运用。
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